MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definite
Fie funcția f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Determinați o primitivă a lui ff și calculați ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Aplicați integrarea prin părți de două ori pentru a găsi o primitivă. Notăm I=∫e2xsin⁡xdxI = \int e^{2x} \sin x dx. Prima integrare prin părți: u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Atunci I=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡xdxI = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx. A doua integrare prin părți pentru J=∫e2xcos⁡xdxJ = \int e^{2x} \cos x dx: u=cos⁡xu = \cos x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Atunci J=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡xdx=12e2xcos⁡x+12IJ = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I. Înlocuiți în II: I=12e2xsin⁡x−12(12e2xcos⁡x+12I)I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I \right). Rezolvați pentru II: I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x−14II = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I, deci 54I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, iar I=25e2xsin⁡x−15e2xcos⁡x+CI = \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x + C. Deci o primitivă este F(x)=15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + C.
24 puncte
Calculați integrala definită: ∫0πe2xsin⁡xdx=[15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)]0π\int_0^{\pi} e^{2x} \sin x dx = \left[ \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) \right]_0^{\pi}. Evaluați: la x=πx=\pi, 15e2π(2sin⁡π−cos⁡π)=15e2π(0−(−1))=15e2π\frac{1}{5} e^{2\pi} (2\sin \pi - \cos \pi) = \frac{1}{5} e^{2\pi} (0 - (-1)) = \frac{1}{5} e^{2\pi}; la x=0x=0, 15e0(2sin⁡0−cos⁡0)=15(0−1)=−15\frac{1}{5} e^{0} (2\sin 0 - \cos 0) = \frac{1}{5} (0 - 1) = -\frac{1}{5}. Deci ∫0πf(x)dx=15e2π−(−15)=15(e2π+1)\int_0^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{5} e^{2\pi} - (-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5} (e^{2\pi} + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.