MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x(1+(ln⁡x)2)f(x) = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}. a) Să se determine o primitivă a funcției ff pe intervalul (0,∞)(0, \infty). b) Să se calculeze integrala definită ∫1ef(x) dx\int_1^e f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că funcția se poate integra folosind substituția u=ln⁡xu = \ln x. Atunci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, iar f(x)dx=1x(1+(ln⁡x)2)dx=11+u2duf(x) dx = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)} dx = \frac{1}{1 + u^2} du.
24 puncte
Prin integrare, ∫f(x)dx=∫11+u2du=arctan⁡u+C=arctan⁡(ln⁡x)+C\int f(x) dx = \int \frac{1}{1 + u^2} du = \arctan u + C = \arctan(\ln x) + C, deci o primitivă este F(x)=arctan⁡(ln⁡x)F(x) = \arctan(\ln x).
33 puncte
Pentru integrala definită, ∫1ef(x)dx=F(e)−F(1)=arctan⁡(ln⁡e)−arctan⁡(ln⁡1)=arctan⁡(1)−arctan⁡(0)=π4−0=π4\int_1^e f(x) dx = F(e) - F(1) = \arctan(\ln e) - \arctan(\ln 1) = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.