MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=2x+1x2+x+1f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} și apoi să se calculeze aria suprafeței plane mărginită de graficul funcției g(x)=f(x)+1g(x) = f(x) + 1, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observăm că numărătorul 2x+12x+1 este derivata numitorului x2+x+1x^2 + x + 1, deci o primitivă a lui ff este F(x)=ln⁡∣x2+x+1∣+CF(x) = \ln|x^2 + x + 1| + C, unde CC este constantă reală.
23 puncte
Funcția g(x)=f(x)+1=2x+1x2+x+1+1g(x) = f(x) + 1 = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} + 1. Aria cerută este dată de integrala definită ∫01g(x) dx=∫01(2x+1x2+x+1+1) dx\int_{0}^{1} g(x) \, dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} + 1 \right) \, dx.
33 puncte
Calculăm ∫01g(x) dx=∫012x+1x2+x+1 dx+∫011 dx=[ln⁡(x2+x+1)]01+[x]01=(ln⁡3−ln⁡1)+(1−0)=ln⁡3+1\int_{0}^{1} g(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} \, dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx = [\ln(x^2 + x + 1)]_{0}^{1} + [x]_{0}^{1} = (\ln 3 - \ln 1) + (1 - 0) = \ln 3 + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.