MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveInducție matematicăPolinoame
Se consideră funcția fn(x)=xnexf_n(x) = x^n e^x pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. a) Demonstrați prin inducție matematică că există un polinom PnP_n de grad nn astfel încât Fn(x)=exPn(x)F_n(x) = e^x P_n(x) este o primitivă a lui fnf_n. b) Determinați polinoamele P1(x)P_1(x) și P2(x)P_2(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru n=1n=1, f1(x)=xexf_1(x) = x e^x. O primitivă se obține prin integrare prin părți: F1(x)=∫xexdx=ex(x−1)+CF_1(x) = \int x e^x dx = e^x (x-1) + C. Alegând C=0C=0 pentru simplitate, avem P1(x)=x−1P_1(x) = x-1.
24 puncte
Presupunem că pentru un n≥1n \geq 1, există PnP_n de grad nn cu Fn(x)=exPn(x)F_n(x) = e^x P_n(x) primitivă pentru fnf_n. Pentru n+1n+1, fn+1(x)=xn+1exf_{n+1}(x) = x^{n+1} e^x. Integrând prin părți: ∫xn+1exdx=xn+1ex−(n+1)∫xnexdx=xn+1ex−(n+1)exPn(x)+C=ex(xn+1−(n+1)Pn(x))+C\int x^{n+1} e^x dx = x^{n+1} e^x - (n+1) \int x^n e^x dx = x^{n+1} e^x - (n+1) e^x P_n(x) + C = e^x (x^{n+1} - (n+1) P_n(x)) + C. Deci putem alege Pn+1(x)=xn+1−(n+1)Pn(x)P_{n+1}(x) = x^{n+1} - (n+1) P_n(x), care este de grad n+1n+1.
32 puncte
Din pasul de bază, P1(x)=x−1P_1(x) = x-1. Pentru n=2n=2, folosind relația de recurență, P2(x)=x2−2P1(x)=x2−2(x−1)=x2−2x+2P_2(x) = x^2 - 2 P_1(x) = x^2 - 2(x-1) = x^2 - 2x + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.