MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2exf(x) = x^2 e^{x}. Determinați o primitivă FF a funcției ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. Apoi calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează primitiva generală a funcției ff folosind integrarea prin părți de două ori. Obținem F(x)=ex(x2−2x+2)+CF(x) = e^{x}(x^2 - 2x + 2) + C.
22 puncte
Din condiția F(0)=1F(0)=1, se determină constanta CC: F(0)=e0(0−0+2)+C=2+C=1F(0)= e^{0}(0 - 0 + 2) + C = 2 + C = 1, deci C=−1C = -1. Astfel, F(x)=ex(x2−2x+2)−1F(x) = e^{x}(x^2 - 2x + 2) - 1.
34 puncte
Aria se calculează cu integrala definită: A=∫01f(x)dx=F(1)−F(0)A = \int_{0}^{1} f(x) dx = F(1) - F(0). F(1)=e1(1−2+2)−1=e(1)−1=e−1F(1) = e^{1}(1 - 2 + 2) - 1 = e(1) - 1 = e - 1. F(0)=1F(0) = 1. Deci A=(e−1)−1=e−2A = (e - 1) - 1 = e - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.