MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeStudiul funcțiilor
Fie funcția f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1). a) Determinați primitiva FF a funcției ff care satisface F(0)=0F(0) = 0. b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului lui ff pe intervalul [0,e−1][0, e-1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se integrează f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1) folosind integrarea prin părți. Considerăm u=ln⁡(x+1)u = \ln(x+1), dv=dxdv = dx, deci du=1x+1dxdu = \frac{1}{x+1} dx și v=xv = x. Atunci ∫ln⁡(x+1)dx=xln⁡(x+1)−∫xx+1dx\int \ln(x+1) dx = x \ln(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx. Pentru ∫xx+1dx\int \frac{x}{x+1} dx, se scrie xx+1=1−1x+1\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}, deci ∫xx+1dx=∫1dx−∫1x+1dx=x−ln⁡∣x+1∣+C1\int \frac{x}{x+1} dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x+1} dx = x - \ln|x+1| + C_1. Prin urmare, F(x)=xln⁡(x+1)−x+ln⁡∣x+1∣+CF(x) = x \ln(x+1) - x + \ln|x+1| + C.
22 puncte
Din condiția F(0)=0F(0) = 0, avem 0⋅ln⁡(1)−0+ln⁡∣1∣+C=C=00 \cdot \ln(1) - 0 + \ln|1| + C = C = 0, deci C=0C = 0. Astfel, pentru x>−1x > -1, F(x)=xln⁡(x+1)−x+ln⁡(x+1)F(x) = x \ln(x+1) - x + \ln(x+1).
34 puncte
Volumul corpului de rotație este dat de formula V=π∫0e−1[f(x)]2dx=π∫0e−1[ln⁡(x+1)]2dxV = \pi \int_0^{e-1} [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^{e-1} [\ln(x+1)]^2 dx. Se găsește o primitivă pentru [ln⁡(x+1)]2[\ln(x+1)]^2 folosind integrarea prin părți: considerăm u=[ln⁡(x+1)]2u = [\ln(x+1)]^2, dv=dxdv = dx, etc., sau se poate deriva direct: o primitivă este G(x)=x[ln⁡(x+1)]2−2xln⁡(x+1)+2x+2ln⁡(x+1)G(x) = x [\ln(x+1)]^2 - 2x \ln(x+1) + 2x + 2 \ln(x+1). Evaluând de la 0 la e-1: G(e−1)=(e−1)[ln⁡(e)]2−2(e−1)ln⁡(e)+2(e−1)+2ln⁡(e)=(e−1)⋅12−2(e−1)⋅1+2(e−1)+2⋅1=e−1−2e+2+2e−2+2=e+1G(e-1) = (e-1)[\ln(e)]^2 - 2(e-1)\ln(e) + 2(e-1) + 2\ln(e) = (e-1) \cdot 1^2 - 2(e-1) \cdot 1 + 2(e-1) + 2 \cdot 1 = e-1 - 2e + 2 + 2e - 2 + 2 = e+1, iar G(0)=0[ln⁡(1)]2−0+0+2ln⁡(1)=0G(0) = 0 [\ln(1)]^2 - 0 + 0 + 2\ln(1) = 0. Deci V=π(G(e−1)−G(0))=π(e+1)V = \pi (G(e-1) - G(0)) = \pi (e+1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.