MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=sin⁡x+cos⁡xg(x) = \sin x + \cos x. Determinați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} astfel încât f′(x)=g(x)f'(x) = g(x) și f(0)=2f(0) = 2. Apoi studiați convexitatea funcției ff pe intervalul [0,2π][0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se integrează funcția gg pentru a obține ff: f(x)=∫g(x)dx=∫(sin⁡x+cos⁡x)dx=−cos⁡x+sin⁡x+Cf(x) = \int g(x) dx = \int (\sin x + \cos x) dx = -\cos x + \sin x + C. Din f(0)=2f(0)=2, avem −cos⁡0+sin⁡0+C=−1+0+C=2-\cos 0 + \sin 0 + C = -1 + 0 + C = 2, deci C=3C=3. Astfel, f(x)=−cos⁡x+sin⁡x+3f(x) = -\cos x + \sin x + 3.
23 puncte
Se calculează derivata a doua a funcției ff: f′(x)=sin⁡x+cos⁡xf'(x) = \sin x + \cos x (dat), f′′(x)=cos⁡x−sin⁡xf''(x) = \cos x - \sin x.
33 puncte
Se studiază semnul lui f′′(x)f''(x) pe [0,2π][0, 2\pi]. f′′(x)=cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4)f''(x) = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right). Ecuația f′′(x)=0f''(x)=0 dă x+π4=π2+kπx + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi, deci x=π4+kπx = \frac{\pi}{4} + k\pi. Pe [0,2π][0, 2\pi], x=π4,5π4x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}. Se analizează semnul: pe (0,π4)(0, \frac{\pi}{4}), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff convexă; pe (π4,5π4)(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}), f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff concavă; pe (5π4,2π)(\frac{5\pi}{4}, 2\pi), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff convexă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.