MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-leaArii și volume
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. a) Determinați primitiva FF a lui ff pentru care F(1)=0F(1) = 0. b) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul lui ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=4x=4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează primitiva generală a lui ff: ∫(x2−4x+3) dx=x33−2x2+3x+C\int (x^2 - 4x + 3) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C.
22 puncte
Se aplică condiția F(1)=0F(1)=0: F(1)=13−2+3+C=43+C=0F(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 + C = \frac{4}{3} + C = 0, deci C=−43C = -\frac{4}{3}. Primitiva cerută este F(x)=x33−2x2+3x−43F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x - \frac{4}{3}.
32 puncte
Se determină punctele de intersecție cu axa Ox: x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0, cu soluțiile x1=1x_1=1 și x2=3x_2=3. Pe intervalul [0,4][0,4], funcția este pozitivă pentru x∈[0,1)∪(3,4]x \in [0,1) \cup (3,4] și negativă pentru x∈(1,3)x \in (1,3).
43 puncte
Aria se calculează ca A=∫01f(x) dx+∣∫13f(x) dx∣+∫34f(x) dxA = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right| + \int_{3}^{4} f(x) \, dx. Folosind primitiva FF, avem: ∫01f(x) dx=F(1)−F(0)=0−(−43)=43\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}, ∫13f(x) dx=F(3)−F(1)=(273−18+9−43)−0=9−18+9−43=−43\int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = \left(\frac{27}{3} - 18 + 9 - \frac{4}{3}\right) - 0 = 9 - 18 + 9 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}, deci valoarea absolută este 43\frac{4}{3}, și ∫34f(x) dx=F(4)−F(3)=(643−32+12−43)−(−43)=603−20−43+43=20−20=0\int_{3}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(3) = \left(\frac{64}{3} - 32 + 12 - \frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{60}{3} - 20 - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 20 - 20 = 0. Aria totală este A=43+43+0=83A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 0 = \frac{8}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.