MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateIntegrale definite
Fie funcția f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. a) Determinați primitiva FF a funcției ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. b) Utilizând rezultatul de la a), calculați integrala definită ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică integrarea prin părți pentru a găsi o primitivă a funcției f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Considerăm u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx și v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Atunci ∫e2xsin⁡xdx=12e2xsin⁡x−∫12e2xcos⁡xdx\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos x dx. Se integrează din nou prin părți pentru ∫e2xcos⁡xdx\int e^{2x} \cos x dx, luând u=cos⁡xu = \cos x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, și se obține ∫e2xcos⁡xdx=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡xdx\int e^{2x} \cos x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x dx. Substituind și rezolvând, se găsește ∫e2xsin⁡xdx=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+C\int e^{2x} \sin x dx = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C. Deci F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CF(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C.
22 puncte
Se impune condiția F(0)=1F(0) = 1 pentru a determina constanta CC. F(0)=e0(2⋅0−1)5+C=−15+C=1F(0) = \frac{e^{0}(2\cdot 0 - 1)}{5} + C = -\frac{1}{5} + C = 1, deci C=65C = \frac{6}{5}. Prin urmare, F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+65F(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + \frac{6}{5}.
34 puncte
Pentru integrala definită, ∫0πf(x)dx=F(π)−F(0)\int_0^{\pi} f(x) dx = F(\pi) - F(0). Se calculează F(π)=e2π(2sin⁡π−cos⁡π)5+65=e2π(0−(−1))5+65=e2π5+65F(\pi) = \frac{e^{2\pi}(2\sin \pi - \cos \pi)}{5} + \frac{6}{5} = \frac{e^{2\pi}(0 - (-1))}{5} + \frac{6}{5} = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{6}{5}. Atunci ∫0πf(x)dx=(e2π5+65)−1=e2π5+15\int_0^{\pi} f(x) dx = \left( \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{6}{5} \right) - 1 = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.