MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveEcuații exponentialeContinuitate
Fie funcția f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă FF a lui ff care verifică F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Aplicăm integrarea prin părți pentru I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx. Alegem u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2x dxdv = e^{2x} \, dx, deci du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Atunci I=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡x dxI = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx.
24 puncte
Pentru ∫e2xcos⁡x dx\int e^{2x} \cos x \, dx, alegem u=cos⁡xu = \cos x, dv=e2x dxdv = e^{2x} \, dx, deci du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Obținem ∫e2xcos⁡x dx=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡x dx=12e2xcos⁡x+12I\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I.
31 punct
Înlocuim în expresia pentru II: I=12e2xsin⁡x−12(12e2xcos⁡x+12I)=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x−14II = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I \right) = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I. Rezolvăm pentru II: I+14I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡xI + \frac{1}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, deci 54I=e2x(12sin⁡x−14cos⁡x)\frac{5}{4} I = e^{2x} \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right), iar I=45e2x(12sin⁡x−14cos⁡x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)I = \frac{4}{5} e^{2x} \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x).
41 punct
Atunci F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C. Din condiția F(0)=1F(0) = 1, avem F(0)=e05(2⋅0−1)+C=−15+C=1F(0) = \frac{e^0}{5} (2 \cdot 0 - 1) + C = -\frac{1}{5} + C = 1, deci C=65C = \frac{6}{5}. Așadar, F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+65F(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + \frac{6}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.