MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveMatematică aplicatăIntegrale definite
Un mobil se deplasează pe o dreaptă cu viteza dată de v(t)=t2e−tv(t) = t^2 e^{-t} m/s. Să se determine distanța parcursă de mobil în intervalul de timp [0,2][0, 2] secunde.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Aflăm primitiva vitezei pentru a obține funcția de poziție. Avem s(t)=∫v(t) dt=∫t2e−t dts(t) = \int v(t) \, dt = \int t^2 e^{-t} \, dt. Se integrează prin părți de două ori: alegem u=t2u = t^2, dv=e−tdtdv = e^{-t} dt, deci du=2tdtdu = 2t dt, v=−e−tv = -e^{-t}. Prima integrare: ∫t2e−tdt=−t2e−t+∫2te−tdt\int t^2 e^{-t} dt = -t^2 e^{-t} + \int 2t e^{-t} dt. Pentru ∫2te−tdt\int 2t e^{-t} dt, alegem u=2tu = 2t, dv=e−tdtdv = e^{-t} dt, deci du=2dtdu = 2 dt, v=−e−tv = -e^{-t}. Obținem ∫2te−tdt=−2te−t+∫2e−tdt=−2te−t−2e−t\int 2t e^{-t} dt = -2t e^{-t} + \int 2 e^{-t} dt = -2t e^{-t} - 2 e^{-t}. În final, s(t)=−t2e−t−2te−t−2e−t+Cs(t) = -t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} - 2 e^{-t} + C.
26 puncte
Distanța parcursă este ∫02v(t) dt=s(2)−s(0)\int_{0}^{2} v(t) \, dt = s(2) - s(0). Calculăm s(2)=−(2)2e−2−2(2)e−2−2e−2+C=−4e−2−4e−2−2e−2+C=−10e−2+Cs(2) = -(2)^2 e^{-2} - 2(2) e^{-2} - 2 e^{-2} + C = -4e^{-2} - 4e^{-2} - 2e^{-2} + C = -10e^{-2} + C și s(0)=−(0)2e0−2(0)e0−2e0+C=−2+Cs(0) = -(0)^2 e^{0} - 2(0) e^{0} - 2 e^{0} + C = -2 + C. Deci distanța este (−10e−2+C)−(−2+C)=2−10e−2(-10e^{-2} + C) - (-2 + C) = 2 - 10e^{-2} metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.