MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă a lui ff pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică integrarea prin părți. Notăm I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx. Alegem u=sin⁡xu = \sin x și dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx și v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Atunci I=12e2xsin⁡x−∫12e2xcos⁡x dxI = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos x \, dx.
23 puncte
Se aplică din nou integrarea prin părți pentru ∫e2xcos⁡x dx\int e^{2x} \cos x \, dx, alegând u=cos⁡xu = \cos x și dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, obținând ∫e2xcos⁡x dx=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡x dx\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx, ceea ce conduce la ecuația I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x−14II = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I.
33 puncte
Se rezolvă ecuația pentru II, adunând 14I\frac{1}{4}I și izolând II, obținând I=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CI = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C, deci o primitivă este F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.