MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 4x + 5}. Să se determine o primitivă FF a funcției ff care satisface condiția F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se completează pătratul la numitor: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1. Apoi se rescrie f(x)=2(x+2)−3(x+2)2+1f(x) = \frac{2(x+2) - 3}{(x+2)^2 + 1}.
24 puncte
Se integrează termen cu termen: ∫2(x+2)(x+2)2+1dx−∫3(x+2)2+1dx\int \frac{2(x+2)}{(x+2)^2 + 1} dx - \int \frac{3}{(x+2)^2 + 1} dx. Pentru primul termen, se folosește substituția u=(x+2)2+1u = (x+2)^2 + 1, obținând ln⁡((x+2)2+1)\ln((x+2)^2 + 1), iar pentru al doilea, se recunoaște integrala arctangentei, obținând −3arctan⁡(x+2)-3 \arctan(x+2).
32 puncte
Se obține F(x)=ln⁡((x+2)2+1)−3arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln((x+2)^2 + 1) - 3 \arctan(x+2) + C. Din F(0)=1F(0) = 1, se substituie x=0x=0: 1=ln⁡(5)−3arctan⁡(2)+C1 = \ln(5) - 3 \arctan(2) + C, deci C=1−ln⁡(5)+3arctan⁡(2)C = 1 - \ln(5) + 3 \arctan(2).
41 punct
Se scrie primitiva finală: F(x)=ln⁡(x2+4x+5)−3arctan⁡(x+2)+1−ln⁡(5)+3arctan⁡(2)F(x) = \ln(x^2 + 4x + 5) - 3 \arctan(x+2) + 1 - \ln(5) + 3 \arctan(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.