MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați ∫e3xsin⁡(2x) dx\int e^{3x} \sin(2x) \, dx folosind metoda integrării prin părți de două ori.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm I=∫e3xsin⁡(2x) dxI = \int e^{3x} \sin(2x) \, dx. Aplicăm integrarea prin părți prima dată cu u=sin⁡(2x)u = \sin(2x), dv=e3xdxdv = e^{3x} dx, deci du=2cos⁡(2x)dxdu = 2\cos(2x) dx, v=13e3xv = \frac{1}{3} e^{3x}. Obținem I=13e3xsin⁡(2x)−23∫e3xcos⁡(2x) dxI = \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2x) - \frac{2}{3} \int e^{3x} \cos(2x) \, dx.\n
24 puncte
Pentru integrala rămasă, J=∫e3xcos⁡(2x) dxJ = \int e^{3x} \cos(2x) \, dx, aplicăm din nou integrarea prin părți cu u=cos⁡(2x)u = \cos(2x), dv=e3xdxdv = e^{3x} dx, deci du=−2sin⁡(2x)dxdu = -2\sin(2x) dx, v=13e3xv = \frac{1}{3} e^{3x}. Obținem J=13e3xcos⁡(2x)+23∫e3xsin⁡(2x) dx=13e3xcos⁡(2x)+23IJ = \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2x) + \frac{2}{3} \int e^{3x} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2x) + \frac{2}{3} I.\n
33 puncte
Înlocuim JJ în expresia pentru II: I=13e3xsin⁡(2x)−23(13e3xcos⁡(2x)+23I)I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2x) - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2x) + \frac{2}{3} I \right). Simplificăm: I=13e3xsin⁡(2x)−29e3xcos⁡(2x)−49II = \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2x) - \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2x) - \frac{4}{9} I. Aducem termenii cu II într-o parte: I+49I=139I=13e3xsin⁡(2x)−29e3xcos⁡(2x)I + \frac{4}{9} I = \frac{13}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2x) - \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2x).\n
41 punct
Rezolvăm pentru II: I=913(13e3xsin⁡(2x)−29e3xcos⁡(2x))+C=313e3xsin⁡(2x)−213e3xcos⁡(2x)+CI = \frac{9}{13} \left( \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2x) - \frac{2}{9} e^{3x} \cos(2x) \right) + C = \frac{3}{13} e^{3x} \sin(2x) - \frac{2}{13} e^{3x} \cos(2x) + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.