MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Să se determine funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, derivabilă, știind că f′(x)=x2+1x4+1f'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} și f(0)=1f(0) = 1. Apoi, să se calculeze aria mărginită de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se integrează f′(x)f'(x) pentru a găsi o primitivă. Se observă că x2+1x4+1=12(1x2−2x+1+1x2+2x+1)\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} + \frac{1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} \right). Integrând, se obține f(x)=122(arctan⁡(2x+1)+arctan⁡(2x−1))+Cf(x) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan(\sqrt{2}x + 1) + \arctan(\sqrt{2}x - 1) \right) + C.
22 puncte
Folosind condiția f(0)=1f(0)=1, se determină constanta CC: f(0)=122(arctan⁡(1)+arctan⁡(−1))+C=122(π4−π4)+C=C=1f(0) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan(1) + \arctan(-1) \right) + C = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) + C = C = 1. Deci f(x)=122(arctan⁡(2x+1)+arctan⁡(2x−1))+1f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan(\sqrt{2}x + 1) + \arctan(\sqrt{2}x - 1) \right) + 1.
35 puncte
Aria este dată de ∫01f(x)dx\int_0^1 f(x) dx. Se calculează integrala definită folosind primitiva găsită: ∫01f(x)dx=[14ln⁡∣x2+2x+1x2−2x+1∣+x]01=14ln⁡(2+22−2)+1\int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{1}{4} \ln\left| \frac{x^2 + \sqrt{2}x + 1}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \right| + x \right]_0^1 = \frac{1}{4} \ln\left( \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right) + 1. Rezultatul final pentru arie este 14ln⁡(2+22−2)+1\frac{1}{4} \ln\left( \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right) + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.