MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volume
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției f(x)=xe−xf(x) = \sqrt{x} e^{-x} pentru x∈[0,1]x \in [0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Volumul este dat de formula V=π∫01[f(x)]2dx=π∫01xe−2xdxV = \pi \int_0^1 [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^1 x e^{-2x} dx.
25 puncte
Se determină o primitivă a funcției g(x)=xe−2xg(x) = x e^{-2x} folosind integrarea prin părți. Fie u=xu = x, dv=e−2xdxdv = e^{-2x} dx, atunci du=dxdu = dx, v=−12e−2xv = -\frac{1}{2} e^{-2x}. Astfel, ∫xe−2xdx=−12xe−2x+12∫e−2xdx=−12xe−2x−14e−2x+C\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C.
32 puncte
Se calculează integrala definită: ∫01xe−2xdx=[−12xe−2x−14e−2x]01=(−12e−2−14e−2)−(0−14)=−34e−2+14\int_0^1 x e^{-2x} dx = \left[ -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} \right]_0^1 = \left( -\frac{1}{2} e^{-2} - \frac{1}{4} e^{-2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = -\frac{3}{4} e^{-2} + \frac{1}{4}.
41 punct
Volumul este V=π(−34e−2+14)=π4(1−3e−2)V = \pi \left( -\frac{3}{4} e^{-2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{4} (1 - 3e^{-2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.