MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 5}. Determinați o primitivă FF a lui ff și calculați F(0)−F(−2)F(0) - F(-2).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rescrie funcția sub forma f(x)=2x+4x2+4x+5−1x2+4x+5f(x) = \frac{2x+4}{x^2+4x+5} - \frac{1}{x^2+4x+5} prin completarea la derivata numitorului.
24 puncte
Se integrează fiecare termen: ∫2x+4x2+4x+5dx=ln⁡(x2+4x+5)\int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx = \ln(x^2+4x+5) și ∫1x2+4x+5dx=∫1(x+2)2+1dx=arctan⁡(x+2)\int \frac{1}{x^2+4x+5} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx = \arctan(x+2).
33 puncte
Se obține primitiva F(x)=ln⁡(x2+4x+5)−arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C și se calculează F(0)−F(−2)=[ln⁡(5)−arctan⁡(2)+C]−[ln⁡(1)−arctan⁡(0)+C]=ln⁡5−arctan⁡2F(0) - F(-2) = [\ln(5) - \arctan(2) + C] - [\ln(1) - \arctan(0) + C] = \ln 5 - \arctan 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.