MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2} pe intervalul (−2,2)(-2, 2).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se observă că integrala necesită o substituție trigonometrică. Se scrie integrala ∫4−x2 dx\int \sqrt{4 - x^2} \, dx.
23 puncte
Se face substituția x=2sin⁡tx = 2 \sin t, cu t∈(−π2,π2)t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), deci dx=2cos⁡t dtdx = 2 \cos t \, dt și 4−x2=4−4sin⁡2t=2cos⁡t\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 t} = 2 \cos t.
33 puncte
Se calculează integrala în variabila t: ∫2cos⁡t⋅2cos⁡t dt=4∫cos⁡2t dt=4∫1+cos⁡2t2 dt=2∫(1+cos⁡2t) dt=2t+sin⁡2t+C\int 2 \cos t \cdot 2 \cos t \, dt = 4 \int \cos^2 t \, dt = 4 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = 2 \int (1 + \cos 2t) \, dt = 2t + \sin 2t + C.
42 puncte
Se revine la variabila x: sin⁡t=x2\sin t = \frac{x}{2}, deci t=arcsin⁡x2t = \arcsin \frac{x}{2}, și sin⁡2t=2sin⁡tcos⁡t=2⋅x2⋅4−x22=x4−x22\sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{2}. Astfel, primitiva este F(x)=2arcsin⁡x2+x4−x22+CF(x) = 2 \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{2} + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.