MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeIntegrale definite
Se consideră funcțiile f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x și g(x)=x−1g(x) = x - 1. Să se determine aria regiunii delimitate de graficele acestor funcții și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea ordinii funcțiilor pe intervalul [1,e][1,e]: Pentru x∈[1,e]x \in [1,e], avem ln⁡x≤x−1\ln x \leq x-1, deci aria este dată de ∫1e[(x−1)−ln⁡x]dx\int_1^e [(x-1) - \ln x] dx.
23 puncte
Calculul primitivei pentru x−1x-1: ∫(x−1)dx=x22−x+C\int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x + C.
33 puncte
Calculul primitivei pentru ln⁡x\ln x: ∫ln⁡xdx=xln⁡x−x+C\int \ln x dx = x \ln x - x + C (prin integrare prin părți).
42 puncte
Evaluarea integralei definite: ∫1e[(x−1)−ln⁡x]dx=[x22−x−(xln⁡x−x)]1e=[x22−xln⁡x]1e=(e22−eln⁡e)−(12−1⋅ln⁡1)=e22−e−12+0=e2−2e−12\int_1^e [(x-1) - \ln x] dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x - (x \ln x - x) \right]_1^e = \left[ \frac{x^2}{2} - x \ln x \right]_1^e = \left( \frac{e^2}{2} - e \ln e \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \cdot \ln 1 \right) = \frac{e^2}{2} - e - \frac{1}{2} + 0 = \frac{e^2 - 2e - 1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.