MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Determinați o primitivă a acestei funcții și calculați aria regiunii mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=πx=\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aflați o primitivă F(x)F(x) a funcției f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x folosind integrarea prin părți, obținând F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C.
24 puncte
Calculați integrala definită ∫0πf(x)dx\int_0^\pi f(x) dx utilizând primitiva găsită; ∫0πe−xsin⁡xdx=F(π)−F(0)=12(1−e−π)\int_0^\pi e^{-x} \sin x dx = F(\pi) - F(0) = \frac{1}{2}(1 - e^{-\pi}).
32 puncte
Exprimați aria cerută ca valoare absolută a integralei, deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [0,π][0,\pi], deci aria este 12(1−e−π)\frac{1}{2}(1 - e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.