MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Să se determine o primitivă a funcției f:(0,π2)→Rf: \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}, f(x)=cos⁡x2−sin⁡2xf(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2-\sin^2 x}}, care se anulează în punctul x=π6x=\frac{\pi}{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm integrala nedefinită ∫f(x)dx=∫cos⁡x2−sin⁡2xdx\int f(x) dx = \int \frac{\cos x}{\sqrt{2-\sin^2 x}} dx. Folosim substituția u=sin⁡xu=\sin x, atunci du=cos⁡xdxdu=\cos x dx. Integrala devine ∫12−u2du\int \frac{1}{\sqrt{2-u^2}} du. Recunoaștem formula ∫1a2−u2du=arcsin⁡ua+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \arcsin\frac{u}{a} + C, cu a=2a=\sqrt{2}. Deci ∫12−u2du=arcsin⁡u2+C\int \frac{1}{\sqrt{2-u^2}} du = \arcsin\frac{u}{\sqrt{2}} + C. Întorcând la variabila inițială: ∫f(x)dx=arcsin⁡(sin⁡x2)+C\int f(x) dx = \arcsin\left(\frac{\sin x}{\sqrt{2}}\right) + C. Mulțimea primitivelor este F(x)=arcsin⁡(sin⁡x2)+CF(x)=\arcsin\left(\frac{\sin x}{\sqrt{2}}\right) + C.
23 puncte
Determinăm constanta CC din condiția F(π6)=0F\left(\frac{\pi}{6}\right)=0. Calculăm F(π6)=arcsin⁡(sin⁡π62)+C=arcsin⁡(1/22)+C=arcsin⁡(122)+CF\left(\frac{\pi}{6}\right)=\arcsin\left(\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\sqrt{2}}\right) + C = \arcsin\left(\frac{1/2}{\sqrt{2}}\right) + C = \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) + C. Din condiție, arcsin⁡(122)+C=0\arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) + C = 0, deci C=−arcsin⁡(122)C = -\arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
33 puncte
Primitivea căutată este F(x)=arcsin⁡(sin⁡x2)−arcsin⁡(122)F(x)=\arcsin\left(\frac{\sin x}{\sqrt{2}}\right) - \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right). Verificăm că F(π6)=0F\left(\frac{\pi}{6}\right)=0 și F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) pe (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right). Punctele se acordă pentru forma finală corectă și justificarea validității substituției (domeniul asigură cos⁡x>0\cos x > 0 și 2−sin⁡2x>02-\sin^2 x > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.