MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivate
Să se determine o primitivă a funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm integrarea prin părți, alegând u=sin⁡xu = \sin x și dv=e2xdxdv = e^{2x} dx. Obținem ∫e2xsin⁡xdx=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡xdx\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx.
23 puncte
Pentru ∫e2xcos⁡xdx\int e^{2x} \cos x dx, aplicăm din nou integrarea prin părți, alegând u=cos⁡xu = \cos x și dv=e2xdxdv = e^{2x} dx. Obținem ∫e2xcos⁡xdx=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡xdx\int e^{2x} \cos x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x dx.
33 puncte
Notăm I=∫e2xsin⁡xdxI = \int e^{2x} \sin x dx. Din pașii anteriori, avem I=12e2xsin⁡x−12(12e2xcos⁡x+12I)I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I \right). Rezolvăm ecuația: I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x−14II = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I, deci 54I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x.
41 punct
Obținem I=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CI = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C, unde C∈RC \in \mathbb{R} este constanta de integrare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.