MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Determinați o primitivă a funcției ff și calculați ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem integrala nedefinită ∫e−xsin⁡x dx\int e^{-x} \sin x \, dx și aplicăm integrarea prin părți de două ori, notând u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx pentru prima integrare, apoi similar pentru integrala rămasă, obținând ecuația I=−e−xsin⁡x−e−xcos⁡x−II = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - I unde I=∫e−xsin⁡x dxI = \int e^{-x} \sin x \, dx.
24 puncte
Rezolvăm ecuația pentru a găsi primitiva: I=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CI = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C, deci F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C.
33 puncte
Calculăm integrala definită: ∫0πe−xsin⁡x dx=[−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)]0π=−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)+12e0(sin⁡0+cos⁡0)=12(1+e−π)\int_0^{\pi} e^{-x} \sin x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) \right]_0^{\pi} = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) + \frac{1}{2} e^{0} (\sin 0 + \cos 0) = \frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.