MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeDerivate
Să se determine primitiva funcției f(x)=2x+5x2+4x+13f(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 4x + 13} care se anulează în punctul x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observăm că numitorul este x2+4x+13=(x+2)2+9x^2 + 4x + 13 = (x+2)^2 + 9. Rescriem funcția: f(x)=2x+4+1(x+2)2+9=2(x+2)(x+2)2+9+1(x+2)2+9f(x) = \frac{2x+4+1}{(x+2)^2 + 9} = \frac{2(x+2)}{(x+2)^2 + 9} + \frac{1}{(x+2)^2 + 9}.
24 puncte
Integrăm: ∫f(x)dx=ln⁡((x+2)2+9)+13arctan⁡(x+23)+C\int f(x) dx = \ln((x+2)^2 + 9) + \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x+2}{3}\right) + C.
32 puncte
Aplicăm condiția F(1)=0F(1)=0: ln⁡(32+9)+13arctan⁡(33)+C=ln⁡(18)+13⋅π4+C=0\ln(3^2 + 9) + \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{3}{3}\right) + C = \ln(18) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4} + C = 0, deci C=−ln⁡(18)−π12C = -\ln(18) - \frac{\pi}{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.