MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=x2−4x+3g(x)= x^2 - 4x + 3, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=4x=4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Determinăm intersecțiile cu axa OxOx: x2−4x+3=0⇒x1=1,x2=3x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1=1, x_2=3. Pe [0,4][0,4], g(x)≥0g(x) \geq 0 pentru x∈[0,1]∪[3,4]x \in [0,1] \cup [3,4] și g(x)≤0g(x) \leq 0 pentru x∈[1,3]x \in [1,3].
23 puncte
Aria este A=∫04∣g(x)∣ dx=∫01g(x) dx−∫13g(x) dx+∫34g(x) dxA = \int_0^4 |g(x)| \, dx = \int_0^1 g(x) \, dx - \int_1^3 g(x) \, dx + \int_3^4 g(x) \, dx.
33 puncte
Calculăm primitiva: ∫g(x) dx=x33−2x2+3x+C\int g(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C. Atunci: ∫01g(x) dx=[x33−2x2+3x]01=(13−2+3)−0=43\int_0^1 g(x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) - 0 = \frac{4}{3}; ∫13g(x) dx=[x33−2x2+3x]13=(9−18+9)−(13−2+3)=0−43=−43\int_1^3 g(x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^3 = (9 - 18 + 9) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}, deci −∫13g(x) dx=43-\int_1^3 g(x) \, dx = \frac{4}{3}; ∫34g(x) dx=[x33−2x2+3x]34=(643−32+12)−(9−18+9)=(643−20)−0=43\int_3^4 g(x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_3^4 = \left( \frac{64}{3} - 32 + 12 \right) - (9 - 18 + 9) = \left( \frac{64}{3} - 20 \right) - 0 = \frac{4}{3}.
41 punct
Aria totală este A=43+43+43=4A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.