MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Să se determine funcția FF astfel încât F′(x)=exsin⁡xF'(x) = e^x \sin x și F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Considerăm integrala I=∫exsin⁡x dxI = \int e^x \sin x \, dx. Aplicăm integrarea prin părți cu u=sin⁡xu = \sin x și dv=exdxdv = e^x dx.
24 puncte
Obținem I=exsin⁡x−∫excos⁡x dxI = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx. Aplicăm din nou integrarea prin părți pentru ∫excos⁡x dx\int e^x \cos x \, dx cu u=cos⁡xu = \cos x și dv=exdxdv = e^x dx.
33 puncte
După calcule, găsim I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+CI = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C. Din F(0)=1F(0)=1, avem 1=1(0−1)2+C⇒C=321 = \frac{1(0-1)}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}, deci F(x)=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+32F(x) = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.