MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu rația dd. Considerăm șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n). Dacă a1+a2+a3=56a_1 + a_2 + a_3 = 56 și a1⋅a2⋅a3=512a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 512, determinați termenii a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 și rația dd.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Exprimăm ana_n în funcție de bnb_n: an=2bna_n = 2^{b_n}. |
21 punct
Deoarece bnb_n este progresie aritmetică, notăm b1=bb_1 = b, atunci b2=b+db_2 = b+d, b3=b+2db_3 = b+2d. |
32 puncte
Scriem condițiile date: a1+a2+a3=2b+2b+d+2b+2d=56a_1 + a_2 + a_3 = 2^b + 2^{b+d} + 2^{b+2d} = 56 și a1⋅a2⋅a3=2b⋅2b+d⋅2b+2d=23b+3d=512a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 2^b \cdot 2^{b+d} \cdot 2^{b+2d} = 2^{3b+3d} = 512. |
42 puncte
Din produs, 23b+3d=512=292^{3b+3d} = 512 = 2^9, deci 3b+3d=93b+3d=9 sau b+d=3b+d=3. |
53 puncte
Folosind b+d=3b+d=3, notăm x=2bx = 2^b. Atunci 2b+d=23=82^{b+d} = 2^3 = 8 și 2b+2d=2b+2(3−b)=26−b=64x2^{b+2d} = 2^{b+2(3-b)} = 2^{6-b} = \frac{64}{x}. Suma devine x+8+64x=56x + 8 + \frac{64}{x} = 56. Rezolvăm: x+64x=48x + \frac{64}{x} = 48, înmulțim cu xx: x2−48x+64=0x^2 - 48x + 64 = 0. Discriminantul este Δ=2304−256=2048=211\Delta = 2304 - 256 = 2048 = 2^{11}, deci x=48±3222=24±162x = \frac{48 \pm 32\sqrt{2}}{2} = 24 \pm 16\sqrt{2}. Deoarece x=2b>0x=2^b > 0, ambele soluții sunt pozitive. Obținem b=log⁡2(24±162)b = \log_2(24 \pm 16\sqrt{2}). |
61 punct
Din b+d=3b+d=3, găsim d=3−bd = 3-b. Apoi calculăm a1=2b,a2=2b+d=8,a3=2b+2d=642ba_1 = 2^b, a_2 = 2^{b+d} = 8, a_3 = 2^{b+2d} = \frac{64}{2^b}, cu bb determinat anterior.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.