MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se dă funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă FF a lui ff care să îndeplinească condiția F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a calcula ∫e2xsin⁡xdx\int e^{2x} \sin x dx, aplicăm integrarea prin părți. Notăm I=∫e2xsin⁡xdxI = \int e^{2x} \sin x dx. Alegem u=e2xu = e^{2x}, dv=sin⁡xdxdv = \sin x dx, deci du=2e2xdxdu = 2e^{2x} dx, v=−cos⁡xv = -\cos x. Atunci I=−e2xcos⁡x+∫2e2xcos⁡xdxI = -e^{2x} \cos x + \int 2e^{2x} \cos x dx.
24 puncte
Aplicăm din nou integrarea prin părți pentru ∫e2xcos⁡xdx\int e^{2x} \cos x dx, alegând u=e2xu = e^{2x}, dv=cos⁡xdxdv = \cos x dx, deci du=2e2xdxdu = 2e^{2x} dx, v=sin⁡xv = \sin x. Obținem ∫e2xcos⁡xdx=e2xsin⁡x−∫2e2xsin⁡xdx=e2xsin⁡x−2I\int e^{2x} \cos x dx = e^{2x} \sin x - \int 2e^{2x} \sin x dx = e^{2x} \sin x - 2I. Substituind, avem I=−e2xcos⁡x+2(e2xsin⁡x−2I)=−e2xcos⁡x+2e2xsin⁡x−4II = -e^{2x} \cos x + 2(e^{2x} \sin x - 2I) = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \sin x - 4I, deci 5I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5I = e^{2x}(2\sin x - \cos x), iar I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CI = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C.
32 puncte
Din F(0)=1F(0)=1, calculăm F(0)=e0(2⋅0−1)5+C=−15+C=1F(0) = \frac{e^{0}(2\cdot0 - 1)}{5} + C = \frac{-1}{5} + C = 1, deci C=65C = \frac{6}{5}, iar F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+65F(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + \frac{6}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.