MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiProgresii Geometrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu a1=5a_1 = 5 și rația q=13q = \frac{1}{3}. Definim șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} prin bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n). Să se determine termenul general al șirului (bn)(b_n) și să se calculeze suma S=∑n=110bnS = \sum_{n=1}^{10} b_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinați termenul general al șirului (an)(a_n): an=a1⋅qn−1=5⋅(13)n−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.\n
23 puncte
Exprimați bnb_n în funcție de nn: bn=log⁡2(5⋅(13)n−1)=log⁡25+(n−1)log⁡2(13)=log⁡25−(n−1)log⁡23b_n = \log_2\left(5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right) = \log_2 5 + (n-1)\log_2\left(\frac{1}{3}\right) = \log_2 5 - (n-1)\log_2 3.\n
35 puncte
Calculați suma SS: S=∑n=110bn=10log⁡25−log⁡23∑n=110(n−1)=10log⁡25−log⁡23⋅9⋅102=10log⁡25−45log⁡23S = \sum_{n=1}^{10} b_n = 10\log_2 5 - \log_2 3 \sum_{n=1}^{10} (n-1) = 10\log_2 5 - \log_2 3 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 10\log_2 5 - 45\log_2 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.