MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteProgresii GeometriceMatematică financiară
O bancă oferă un cont de economii cu o rată a dobânzii de 10%10\% compusă anual. Un deponent investește o sumă inițială S0S_0. Determinați numărul minim de ani nn pentru care suma SnS_n devine cel puțin triplul sumei inițiale, adică Sn≥3S0S_n \geq 3S_0, folosind formula Sn=S0(1+10100)nS_n = S_0 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^n. Apoi, considerați că banca aplică o taxă anuală de 1%1\% din suma din cont la sfârșitul fiecărui an, după ce dobânda a fost calculată. Scrieți relația de recurență pentru SnS_n în acest caz și calculați suma exactă după 5 ani, dacă S0=1000S_0 = 1000 lei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a găsi nn astfel încât Sn≥3S0S_n \geq 3S_0, se rezolvă inecuația 1000⋅(1.1)n≥30001000 \cdot (1.1)^n \geq 3000, adică (1.1)n≥3(1.1)^n \geq 3. Se logaritmează: n≥ln⁡3ln⁡1.1≈1.09860.0953≈11.53n \geq \frac{\ln 3}{\ln 1.1} \approx \frac{1.0986}{0.0953} \approx 11.53, deci n=12n = 12 ani.
23 puncte
Cu taxa de 1%1\%, după calculul dobânzii, suma la sfârșitul anului kk este Sk=Sk−1⋅1.1⋅0.99S_k = S_{k-1} \cdot 1.1 \cdot 0.99, deci relația de recurență este Sn=Sn−1⋅1.089S_n = S_{n-1} \cdot 1.089, cu S0=1000S_0 = 1000.
33 puncte
Calculăm S5=1000⋅(1.089)5=1000⋅1.0895S_5 = 1000 \cdot (1.089)^5 = 1000 \cdot 1.089^5. Aproximativ, 1.0892=1.1859211.089^2 = 1.185921, 1.0894=(1.185921)2=1.40671.089^4 = (1.185921)^2 = 1.4067, 1.0895=1.4067⋅1.089=1.5321.089^5 = 1.4067 \cdot 1.089 = 1.532 (valori rotunjite), deci S5≈1532S_5 \approx 1532 lei. Suma totală este 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.