MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteProgresii GeometriceEcuații logaritmice
O sumă de bani este depusă într-un cont cu dobândă compusă anuală. Dacă rata anuală este de r%r\%, suma se triplează în nn ani. Se știe că dacă rata ar fi de (r−2)%(r-2)\%, suma s-ar tripla în n+5n+5 ani. Determinați rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm cu PP suma inițială. După nn ani la rata r%r\%, suma este S=P(1+r100)nS = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n. Condiția de triplare dă P(1+r100)n=3PP\left(1+\frac{r}{100}\right)^n = 3P, deci (1+r100)n=3\left(1+\frac{r}{100}\right)^n = 3.
22 puncte
Pentru rata (r−2)%(r-2)\% și timpul n+5n+5 ani, avem P(1+r−2100)n+5=3PP\left(1+\frac{r-2}{100}\right)^{n+5} = 3P, deci (1+r−2100)n+5=3\left(1+\frac{r-2}{100}\right)^{n+5} = 3.
33 puncte
Din cele două ecuații, (1+r100)n=(1+r−2100)n+5\left(1+\frac{r}{100}\right)^n = \left(1+\frac{r-2}{100}\right)^{n+5}. Luăm logaritmi naturali: nln⁡(1+r100)=(n+5)ln⁡(1+r−2100)n \ln\left(1+\frac{r}{100}\right) = (n+5) \ln\left(1+\frac{r-2}{100}\right).
43 puncte
Din prima ecuație, n=ln⁡3ln⁡(1+r100)n = \frac{\ln 3}{\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)}. Înlocuim în relația cu logaritmi și rezolvăm pentru rr. Se obține ecuația ln⁡3ln⁡(1+r100)ln⁡(1+r100)=(ln⁡3ln⁡(1+r100)+5)ln⁡(1+r−2100)\frac{\ln 3}{\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)} \ln\left(1+\frac{r}{100}\right) = \left(\frac{\ln 3}{\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)} + 5\right) \ln\left(1+\frac{r-2}{100}\right), care simplificată conduce la ln⁡(1+r100)=5ln⁡3ln⁡(1+r−2100)ln⁡(1+r100)\ln\left(1+\frac{r}{100}\right) = \frac{5}{\ln 3} \ln\left(1+\frac{r-2}{100}\right) \ln\left(1+\frac{r}{100}\right). Prin calcule numerice sau algebrice, se ajunge la r≈7.18%r \approx 7.18\% (soluția exactă implică rezolvarea numerică a ecuației).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.