MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f(x)=x3−3xx2−4f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 4}. Determinați domeniul de definiție al funcției; determinați asimptotele funcției; studiați monotonía funcției și determinați punctele de extrem local; studiați convexitatea/concavitatea funcției și determinați punctele de inflexiune; reprezentați grafic funcția ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2, deci D=R∖{−2,2}D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}.
23 puncte
Determinarea asimptotelor: asimptote verticale la x=−2x = -2 și x=2x = 2 deoarece lim⁡x→−2f(x)=∞\lim_{x \to -2} f(x) = \infty și lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty; asimptotă oblică: se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=0n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = 0, deci asimptota oblică este y=xy = x.
33 puncte
Derivata întâi: f′(x)=x4−9x2+12(x2−4)2f'(x) = \frac{x^4 - 9x^2 + 12}{(x^2 - 4)^2}. Se rezolvă x4−9x2+12=0x^4 - 9x^2 + 12 = 0, notând t=x2t = x^2, se obține t2−9t+12=0t^2 - 9t + 12 = 0, cu rădăcinile t1,2=9±332t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}. Cum t>0t > 0, ambele sunt pozitive, deci x=±t1x = \pm \sqrt{t_1} și x=±t2x = \pm \sqrt{t_2}. Se studiază semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele determinate de aceste puncte și de punctele de nediferențiabilitate, se determină intervalele de monotonie și punctele de extrem.
41 punct
Derivata a doua: f′′(x)=2x(x2−12)(x2−4)3f''(x) = \frac{2x(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^3}. Se studiază semnul lui f′′(x)f''(x) pentru a determina intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune la x=0x = 0 și x=±12x = \pm \sqrt{12}.
51 punct
Reprezentarea grafică: se trasează graficul, indicând asimptotele, punctele de extrem, punctele de inflexiune și comportamentul funcției.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.