Probleme de Studiul funcțiilor — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 343 probleme cu rezolvări complete
Teorie Studiul funcțiilor — Formule si exemple rezolvate

Studiul complet al funcțiilor combină toate instrumentele de analiză: domeniu, paritate, monotonie, extreme, convexitate, asimptote și reprezentarea grafică.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

9

probleme

Mediu

95

probleme

Grile de Studiul funcțiilor

239 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Racionalizăm numărătorul multiplicând cu x+3+3x+3+3\frac{\sqrt{x+3}+3}{\sqrt{x+3}+3}; obținem x+3−9(x−6)(x+3+3)=x−6(x−6)(x+3+3)\frac{x+3-9}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)}=\frac{x-6}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)} și simplificăm cu x−6x-6, rezultând 1x+3+3\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}.
24 puncte
Evaluăm limita prin înlocuire x→6x\to 6 și obținem 19+3=16\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Analizați prima fracție: factorizați și/sau dezvoltați în jurul lui x=2x=2 pentru a determina limita raportului x3−4xx3−8→23\dfrac{x^3-4x}{x^3-8}\to\dfrac{2}{3}, deci inversul tinde la 32\dfrac{3}{2}.
24 puncte
Pentru a doua expresie, calculați comportamentul pentru x→2x\to2 folosind dezvoltări sau transformări (folosind x−2\sqrt{x}-\sqrt{2} pentru a raționaliza); se obține că paranteza tinde la 32\dfrac{3}{2}, deci inversul tinde la 23\dfrac{2}{3}.
33 puncte
Concluzionați diferența limitelor: 32−23=56\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}, deci limita finală este 56\boxed{\tfrac{5}{6}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați limita primei fracții împărțind numărătorul și numitorul la xx; obțineți lim⁡x→∞3x5x−1=35\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{5x-1}=\frac{3}{5}.
24 puncte
Calculați limita celei de-a doua fracții împărțind numărătorul și numitorul la x2x^2; obțineți lim⁡x→∞2x2+1x2+2x−1=2\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+2x-1}=2.
32 puncte
Scădeți rezultatele pentru limita totală: 35−2=−75\frac{3}{5}-2=-\frac{7}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observați gradele polinoamelor: grad(numărător)=2 < grad(numitor)=3, deci limita este 0.
26 puncte
Demonstrați împărțind numărătorul și numitorul la x3x^3 și luând limita, rezultă 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Studiul funcțiilorȘiruri de numere realeContinuitate
Construiți graficul funcției y = f(x), unde f(x)=lim⁡n→∞xn−x−nxn+x−nf(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x^n - x^{-n}}{x^n + x^{-n}}, pentru x>0x>0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
pentru x>1x>1 avem xn→∞x^n\to\infty și x−n→0x^{-n}\to0, deci împărțind numărătorul și numitorul la xnx^n rezultă f(x)=1f(x)=1.
23 puncte
pentru 0<x<10<x<1 factorizați cu x−nx^{-n} sau împărțiți la x−nx^{-n} pentru a obține limita −1-1, deci f(x)=−1f(x)=-1.
33 puncte
pentru x=1x=1 evaluați direct f(1)=1−11+1=0f(1)=\frac{1-1}{1+1}=0 și trasați graficul unei funcții constante cu valorile determinate pe intervalele corespunzătoare (salturi în x=1x=1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Studiul funcțiilorMonotonie și convexitateDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff.
Mediu#7Studiul funcțiilorLogaritmi
Studiați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2−4x+5)−xf(x) = \ln(x^2 - 4x + 5) - x. Determinați domeniul de definiție, intervalele de monotonie, punctele de extrem, asimptotele și schițați graficul funcției.
Mediu#8Studiul funcțiilorIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}. Studiați funcția: determinați domeniul, paritatea, intervalele de monotonie, extremele, asimptotele. Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=1x = 1.
Mediu#9Studiul funcțiilorAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x-1}. a) Determinați asimptotele funcției ff. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Studiați convexitatea/concavitatea și determinați punctele de inflexiune ale funcției ff. d) Reprezentați grafic funcția ff.
Mediu#10Studiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați a,b,ca, b, c știind că punctul A(1,2)A(1, 2) este punct de extrem local al graficului funcției și că tangenta la grafic în punctul de abscisă x=0x=0 este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. b) Pentru valorile determinate, studiați monotonia funcției ff. c) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției ff.

Și alte 94 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Accesează toate cele 343 probleme de Studiul funcțiilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Aplicații ale derivatelor
536 probleme
→Asimptote
401 probleme
→Continuitate
399 probleme
→Derivate
497 probleme
→Determinanți
564 probleme

Întrebări frecvente despre Studiul funcțiilor

Cum se face studiul complet al unei funcții la BAC?
Studiul complet include: domeniul de definiție, paritatea, limitele la capetele domeniului, asimptotele, derivata I (monotonie, extreme), derivata II (convexitate, puncte de inflexiune) și tabelul de variație.
Ce funcții apar cel mai des la BAC M1?
Cele mai frecvente sunt: funcții raționale f(x) = P(x)/Q(x), funcții exponențiale f(x) = e^x·P(x), funcții logaritmice f(x) = ln(g(x))·P(x) și combinații ale acestora.
Câte puncte valorează studiul funcțiilor la BAC?
La BAC M1, studiul funcțiilor apare la Subiectul III și valorează de obicei 30 de puncte (3 cerințe a câte 10 puncte). Este cel mai complex subiect și cel mai bine punctat.

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.