MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (un)n≥0(u_n)_{n \geq 0} definit prin u0=0u_0 = 0, u1=1u_1 = 1 și un+2=5un+1−6unu_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n pentru orice n≥0n \geq 0. a) Determinați formula termenului general al șirului. b) Calculați lim⁡n→∞un+1un\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrierea ecuației caracteristice: r2−5r+6=0r^2 - 5r + 6 = 0. Rezolvarea: r1=2r_1 = 2, r2=3r_2 = 3.
24 puncte
Forma generală: un=A⋅2n+B⋅3nu_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n. Folosind condițiile inițiale: u0=A+B=0u_0 = A + B = 0 și u1=2A+3B=1u_1 = 2A + 3B = 1. Rezolvând sistemul, se obține A=−1A = -1, B=1B = 1, deci un=3n−2nu_n = 3^n - 2^n.
34 puncte
Calculul limitei: un+1un=3n+1−2n+13n−2n=3⋅3n−2⋅2n3n−2n=3−2⋅(23)n1−(23)n\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{3^n - 2^n} = \frac{3 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^n}{3^n - 2^n} = \frac{3 - 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}. Deoarece lim⁡n→∞(23)n=0\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0, rezultă lim⁡n→∞un+1un=3\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.