MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0} definit prin x0=1x_0 = 1, x1=2x_1 = 2 și xn+2=4xn+1−3xnx_{n+2} = 4x_{n+1} - 3x_n pentru orice n≥0n \geq 0. a) Să se determine termenul general al șirului (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0}. b) Să se calculeze lim⁡n→∞xn3n\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{3^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie ecuația caracteristică asociată recurenței: r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0. Se rezolvă și se obțin rădăcinile r1=1r_1 = 1 și r2=3r_2 = 3.
23 puncte
Termenul general are forma xn=A⋅1n+B⋅3n=A+B⋅3nx_n = A \cdot 1^n + B \cdot 3^n = A + B \cdot 3^n. Din condițiile inițiale: pentru n=0n=0: A+B=1A + B = 1, pentru n=1n=1: A+3B=2A + 3B = 2. Rezolvând sistemul, se obține A=12A = \frac{1}{2} și B=12B = \frac{1}{2}. Deci xn=12+12⋅3nx_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3^n.
32 puncte
Se calculează xn3n=12+12⋅3n3n=12⋅3n+12\frac{x_n}{3^n} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3^n}{3^n} = \frac{1}{2 \cdot 3^n} + \frac{1}{2}.
42 puncte
lim⁡n→∞xn3n=lim⁡n→∞(12⋅3n+12)=12\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2 \cdot 3^n} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.