MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2−2x)f(x) = e^x (x^2 - 2x). a) Determinați domeniul de definiție al funcției ff. b) Calculați f′(x)f'(x) și f′′(x)f''(x). c) Aflați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției. d) Determinați intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune. e) Studiați existența asimptotelor. f) Reprezentați schematic graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul de definiție este R\mathbb{R} deoarece exe^x și polinomul x2−2xx^2 - 2x sunt definite pe tot R\mathbb{R}.
23 puncte
f′(x)=ex(x2−2x)+ex(2x−2)=ex(x2−2)f'(x) = e^x (x^2 - 2x) + e^x (2x - 2) = e^x (x^2 - 2); f′′(x)=ex(x2−2)+ex(2x)=ex(x2+2x−2)f''(x) = e^x (x^2 - 2) + e^x (2x) = e^x (x^2 + 2x - 2).
33 puncte
f′(x)=0⇒x2−2=0⇒x=±2f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}. Studiind semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,−2)(-\infty, -\sqrt{2}), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare; pe (−2,2)(-\sqrt{2}, \sqrt{2}), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff descrescătoare; pe (2,∞)(\sqrt{2}, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare. Puncte de extrem: maxim local la x=−2x = -\sqrt{2}, f(−2)=e−2(2+22)f(-\sqrt{2}) = e^{-\sqrt{2}}(2 + 2\sqrt{2}); minim local la x=2x = \sqrt{2}, f(2)=e2(2−22)f(\sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}}(2 - 2\sqrt{2}).
41 punct
f′′(x)=0⇒x2+2x−2=0⇒x=−1±3f''(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{3}. f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−∞,−1−3)(-\infty, -1 - \sqrt{3}) și (−1+3,∞)(-1 + \sqrt{3}, \infty) deci ff convexă; f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−1−3,−1+3)(-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}) deci ff concavă. Puncte de inflexiune la x=−1±3x = -1 \pm \sqrt{3}.
51 punct
Nu există asimptote orizontale: lim⁡x→−∞f(x)=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, dar lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Nu există asimptote oblice deoarece lim⁡x→∞f(x)x=∞\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty. Nu există asimptote verticale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.