MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceNumere Complexe
Într-o progresie aritmetică (bn)(b_n) cu primul termen b1=1b_1 = 1 și rația rr, termenii b2,b5,b8b_2, b_5, b_8 sunt în progresie geometrică. Știind că suma primilor 10 termeni este S10=100S_{10} = 100, aflați rația rr și termenul b15b_{15}. Apoi, verificați dacă numerele complexe z1=b3+b4iz_1 = b_3 + b_4 i și z2=b5−b6iz_2 = b_5 - b_6 i sunt conjugate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Termenii progresiei aritmetice sunt bn=1+(n−1)rb_n = 1 + (n-1)r. Avem b2=1+rb_2 = 1 + r, b5=1+4rb_5 = 1 + 4r, b8=1+7rb_8 = 1 + 7r. Deoarece sunt în progresie geometrică, (b5)2=b2⋅b8(b_5)^2 = b_2 \cdot b_8, adică (1+4r)2=(1+r)(1+7r)(1+4r)^2 = (1+r)(1+7r).
23 puncte
Suma primilor 10 termeni este S10=10(2⋅1+9r)2=5(2+9r)=100S_{10} = \frac{10(2 \cdot 1 + 9r)}{2} = 5(2 + 9r) = 100. Rezolvând, obținem r=2r = 2.
32 puncte
Cu r=2r=2, termenul b15=1+14⋅2=29b_{15} = 1 + 14 \cdot 2 = 29.
42 puncte
Numerele complexe sunt z1=b3+b4i=(1+2⋅2)+(1+3⋅2)i=5+7iz_1 = b_3 + b_4 i = (1+2 \cdot 2) + (1+3 \cdot 2)i = 5 + 7i și z2=b5−b6i=(1+4⋅2)−(1+5⋅2)i=9−11iz_2 = b_5 - b_6 i = (1+4 \cdot 2) - (1+5 \cdot 2)i = 9 - 11i. Acestea nu sunt conjugate, deoarece conjugatul lui z1z_1 este 5−7i≠z25 - 7i \neq z_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.