MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeTrigonometrieContinuitate
Se consideră șirul (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0} definit prin x0=1x_0 = 1 și xn+1=cos⁡(xn)x_{n+1} = \cos(x_n) pentru n≥0n \geq 0. Studiați convergența acestui șir și calculați limita, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că −1≤cos⁡(x)≤1-1 \leq \cos(x) \leq 1 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci prin inducție, −1≤xn≤1-1 \leq x_n \leq 1 pentru toți nn, adică șirul este mărginit.
24 puncte
Se demonstrează că șirul este descrescător, folosind faptul că funcția cos⁡\cos este descrescătoare pe [0,π][0, \pi] și că xn∈[0,1]⊂[0,π]x_n \in [0,1] \subset [0,\pi] pentru n≥0n \geq 0.
33 puncte
Conform teoremei convergenței șirurilor monotone și mărginite, șirul este convergent. Fie LL limita; din xn+1=cos⁡(xn)x_{n+1} = \cos(x_n), trecând la limită, se obține L=cos⁡(L)L = \cos(L). Această ecuație are o soluție unică în intervalul [0,1][0,1], care este punctul fix al cosinusului, aproximativ 0.7390850.739085.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.