MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. a) Studiați funcția ff: determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem, convexitatea/concavitatea și punctele de inflexiune. b) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
11 punct
Derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).
21 punct
Punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2.
32 puncte
Tabel de variație: ff crescătoare pe (−∞,0]∪[2,+∞)(-\infty,0] \cup [2,+\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2]; maxim la x=0x=0, f(0)=2f(0)=2; minim la x=2x=2, f(2)=−2f(2)=-2.
41 punct
Derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1).
51 punct
Convexitate: ff convexă pe [1,+∞)[1,+\infty) și concavă pe (−∞,1](-\infty,1].
61 punct
Punct de inflexiune: x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.
71 punct
Pentru aria, determinarea semnului lui ff pe [0,2][0,2]: f(x)≥0f(x) \ge 0 pe [0,1][0,1] și f(x)≤0f(x) \le 0 pe [1,2][1,2].
82 puncte
Calculul ariei: A=∫01f(x) dx+∫12(−f(x)) dx=[x44−x3+2x]01+(−[x44−x3+2x]12)=54+54=52A = \int_0^1 f(x) \, dx + \int_1^2 (-f(x)) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_0^1 + \left( -\left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_1^2 \right) = \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.