MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Neliniare
Numerele reale x,y,zx, y, z sunt în progresie aritmetică. În plus, x,y+1,z+4x, y+1, z+4 sunt în progresie geometrică. Știind că x+y+z=15x + y + z = 15, determinați numerele x,y,zx, y, z.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condițiile: din progresia aritmetică, 2y=x+z2y = x + z. Din progresia geometrică, (y+1)2=x(z+4)(y+1)^2 = x(z+4). Și din sumă, x+y+z=15x + y + z = 15.
23 puncte
Formăm sistemul de ecuații: din 2y=x+z2y = x + z și x+y+z=15x + y + z = 15, înlocuim x+z=2yx + z = 2y în a doua: y+2y=15y + 2y = 15, deci 3y=153y = 15, y=5y = 5. Atunci x+z=10x + z = 10. Ecuația geometrică devine: (5+1)2=x(z+4)(5+1)^2 = x(z+4), adică 36=x(z+4)36 = x(z+4).
33 puncte
Avem x+z=10x + z = 10 și x(z+4)=36x(z+4) = 36. Din prima, z=10−xz = 10 - x. Înlocuim în a doua: x(10−x+4)=36x(10 - x + 4) = 36, x(14−x)=36x(14 - x) = 36, deci 14x−x2=3614x - x^2 = 36, adică x2−14x+36=0x^2 - 14x + 36 = 0. Rezolvăm: discriminantul Δ=196−144=52\Delta = 196 - 144 = 52, deci x=14±522=14±2132=7±13x = \frac{14 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 7 \pm \sqrt{13}. Atunci z=10−x=10−(7±13)=3∓13z = 10 - x = 10 - (7 \pm \sqrt{13}) = 3 \mp \sqrt{13}.
41 punct
Soluțiile sunt perechile: (x,y,z)=(7+13,5,3−13)(x,y,z) = (7 + \sqrt{13}, 5, 3 - \sqrt{13}) și (7−13,5,3+13)(7 - \sqrt{13}, 5, 3 + \sqrt{13}). Ambele verifică condițiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.