MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeStudiul funcțiilor
Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x), axa OxOx și dreptele x=1x = 1 și x=ex = e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Identificarea ariei ca integrală definită: A=∫1eln⁡(x) dxA = \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx.
24 puncte
Găsirea unei primitive pentru ln⁡(x)\ln(x) folosind integrarea prin părți: se notează u=ln⁡(x)u = \ln(x) și dv=dxdv = dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx și v=xv = x. Atunci ∫ln⁡(x) dx=xln⁡(x)−∫x⋅1x dx=xln⁡(x)−x+C\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - x + C.
32 puncte
Calculul valorii integralei: A=[xln⁡(x)−x]1e=(eln⁡(e)−e)−(1⋅ln⁡(1)−1)=(e⋅1−e)−(0−1)=(e−e)−(−1)=1A = \left[ x \ln(x) - x \right]_{1}^{e} = (e \ln(e) - e) - (1 \cdot \ln(1) - 1) = (e \cdot 1 - e) - (0 - 1) = (e - e) - (-1) = 1. Aria este 11 unitate pătrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.