MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1. Se calculează: ∑k=11k3=13=1\sum_{k=1}^{1} k^3 = 1^3 = 1 și (1⋅22)2=12=1\left( \frac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Ipoteza de inducție: se presupune că pentru un n≥1n \geq 1, egalitatea este adevărată, adică ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
36 puncte
Demonstrația pentru n+1n+1. Se calculează ∑k=1n+1k3=∑k=1nk3+(n+1)3\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3. Folosind ipoteza de inducție, acesta devine (n(n+1)2)2+(n+1)3\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1)^3. Se factorizează (n+1)2(n+1)^2: (n+1)2(n24+n+1)=(n+1)2(n2+4n+44)=(n+1)2(n+2)24=((n+1)(n+2)2)2(n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4} + n+1 \right) = (n+1)^2 \left( \frac{n^2 + 4n + 4}{4} \right) = (n+1)^2 \frac{(n+2)^2}{4} = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2, ceea ce demonstrează egalitatea pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Ușor#3Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.