MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Studiați monotonia și convexitatea funcției, apoi calculați integrala definită ∫1ef(x) dx\int_{1}^{e} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea domeniului și studiul monotoniei. Domeniul: x>0x>0, deci D=(0,∞)D = (0, \infty). Derivata întâi: f′(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}. Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru 0<x<e0 < x < e și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>ex > e. Prin urmare, funcția este strict crescătoare pe (0,e](0,e] și strict descrescătoare pe [e,∞)[e, \infty).
23 puncte
Studiul convexității. Derivata a doua: f′′(x)=−1x⋅x2−(1−ln⁡x)⋅2xx4=2ln⁡x−3x3f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1-\ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}. Semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>e3/2x > e^{3/2} și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru 0<x<e3/20 < x < e^{3/2}. Astfel, funcția este convexă pe (e3/2,∞)(e^{3/2}, \infty) și concavă pe (0,e3/2)(0, e^{3/2}).
34 puncte
Calculul integralei definite. Se notează u=ln⁡xu = \ln x, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx. Atunci ∫1eln⁡xx dx=∫01u du=[u22]01=12\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx = \int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.