MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin xn=∑k=1n1n2+k2x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}. Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescriem termenul general: xn=1n∑k=1n11+(kn)2x_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2}}.\n
24 puncte
Recunoaștem că suma este o sumă Riemann pentru funcția f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} pe intervalul [0,1][0,1], cu diviziunea în nn subintervale de lungime 1n\frac{1}{n} și punctele din dreapta. Astfel, lim⁡n→∞xn=∫0111+x2dx\lim_{n \to \infty} x_n = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx.\n
33 puncte
Calculăm integrala: ∫0111+x2dx=ln⁡(x+1+x2)∣01=ln⁡(1+2)−ln⁡(1)=ln⁡(1+2)\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln\left( x + \sqrt{1+x^2} \right) \big|_0^1 = \ln(1+\sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(1+\sqrt{2}). Deci lim⁡n→∞xn=ln⁡(1+2)\lim_{n \to \infty} x_n = \ln(1+\sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.