MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteAplicații ale derivatelor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției. b) Calculați integrala definită ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx. c) Determinați aria regiunii cuprinse între graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=−1x=-1 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Monotonia și convexitatea: Calculăm f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. f′(x)=0⇔x=0f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=0. Pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x) > 0 (deoarece −2x>0-2x>0 și e−x2>0e^{-x^2}>0), deci ff crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]. Pentru x>0x>0, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty). Punctul x=0x=0 este maxim local. Pentru convexitate, calculăm f′′(x)f''(x). f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}, deci f′′(x)=−2e−x2+(−2x)(−2xe−x2)=−2e−x2+4x2e−x2=e−x2(4x2−2)f''(x) = -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2). f′′(x)=0⇔4x2−2=0⇔x2=12⇔x=±22f''(x) = 0 \Leftrightarrow 4x^2 - 2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. Studiind semnul: pentru x∈(−∞,−22)∪(22,∞)x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă; pentru x∈(−22,22)x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff concavă. Punctele x=±22x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} sunt puncte de inflexiune.
23 puncte
Integrala definită: Funcția f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} este pară, deci ∫−11e−x2dx=2∫01e−x2dx\int_{-1}^{1} e^{-x^2} dx = 2 \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx. Integrala ∫e−x2dx\int e^{-x^2} dx nu poate fi exprimată prin funcții elementare, dar se poate scrie în termeni de funcție eroare: ∫−11e−x2dx=π⋅erf(1)\int_{-1}^{1} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \cdot \text{erf}(1), unde erf(x)=2π∫0xe−t2dt\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt este funcția eroare. Pentru scopuri practice, integrala poate fi aproximată numeric.
33 puncte
Aria regiunii: Deoarece f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, aria este dată de integrala definită ∫−11f(x)dx=∫−11e−x2dx\int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{1} e^{-x^2} dx, care a fost calculată la punctul b. Prin urmare, aria este ∫−11e−x2dx\int_{-1}^{1} e^{-x^2} dx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.