MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăStudiul funcțiilor
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați prin inducție matematică că xn<2x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. b) Arătați că șirul este crescător. c) Determinați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație prin inducție: Pentru n=1n=1, x1=1<2x_1=1<2, adevărat. Presupunem xk<2x_k < 2 și demonstrăm xk+1<2x_{k+1} < 2: xk+1=2+xk<2+2=4=2x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2. Deci xn<2x_n < 2 pentru orice nn.
23 puncte
Arătăm că xn+1>xnx_{n+1} > x_n: xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Considerăm funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2 + x} - x pe [1,2)[1,2). Avem f(1)=3−1>0f(1) = \sqrt{3} - 1 > 0 și f′(x)=122+x−1<0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1 < 0 pe [1,2)[1,2), deci ff descrescătoare și pozitivă în xnx_n, de unde xn+1>xnx_{n+1} > x_n. Alternativ, direct: xn+12−xn2=2+xn−xn2=−(xn2−xn−2)=−(xn−2)(xn+1)x_{n+1}^2 - x_n^2 = 2 + x_n - x_n^2 = -(x_n^2 - x_n - 2) = -(x_n - 2)(x_n + 1). Din xn<2x_n < 2, rezultă xn+12>xn2x_{n+1}^2 > x_n^2, iar din pozitivitate, xn+1>xnx_{n+1} > x_n.
33 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior de 2, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență: L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Rezolvăm L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L = 2 și L=−1L = -1. Cum xn>0x_n > 0, avem L≥0L \geq 0, deci L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.