MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie �irul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+32a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Arătați prin inducție matematică că an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1. b) Demonstrați că șirul este crescător. c) Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Prin inducție matematică, se arată că an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, a1=2>0a_1=2>0. Se presupune ak>0a_k>0, atunci ak+1=ak+32>0+32>0a_{k+1} = \frac{a_k+3}{2} > \frac{0+3}{2} > 0, deci propoziția este adevărată pentru orice nn.
23 puncte
Se arată că an<3a_n < 3 pentru orice n≥1n \geq 1 tot prin inducție: pentru n=1n=1, a1=2<3a_1=2<3; presupunând ak<3a_k<3, atunci ak+1=ak+32<3+32=3a_{k+1} = \frac{a_k+3}{2} < \frac{3+3}{2}=3. Din an<3a_n < 3, rezultă an+1−an=an+32−an=3−an2>0a_{n+1} - a_n = \frac{a_n+3}{2} - a_n = \frac{3-a_n}{2} > 0, deci șirul este crescător.
34 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=L+32L = \frac{L+3}{2}, deci 2L=L+32L = L+3 și L=3L=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.