MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrieIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} astfel încât f′(x)=11+x2f'(x) = \frac{1}{1+x^2} și f(0)=0f(0)=0. a) Demonstrați că f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați ∫01f(x)dx\int_0^1 f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din f′(x)=11+x2f'(x) = \frac{1}{1+x^2}, se obține prin integrare: f(x)=arctan⁡x+Cf(x) = \arctan x + C.
22 puncte
Din condiția f(0)=0f(0)=0, rezultă C=0C=0, deci f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x.
34 puncte
Pentru calculul ∫01arctan⁡xdx\int_0^1 \arctan x dx, se folosește integrarea prin părți: ∫arctan⁡xdx=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C\int \arctan x dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C. Apoi, ∫01arctan⁡xdx=[xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)]01=π4−12ln⁡2\int_0^1 \arctan x dx = \left[ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.