MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeLogaritmi
Considerăm progresia aritmetică (xn)(x_n) cu primul termen x1x_1 și rația rr. Știind că x1+x3=10x_1 + x_3 = 10 și log⁡10(x2)+log⁡10(x4)=1\log_{10}(x_2) + \log_{10}(x_4) = 1, să se determine progresia (adică x1x_1 și rr).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei: x1,x2=x1+r,x3=x1+2r,x4=x1+3rx_1, x_2 = x_1 + r, x_3 = x_1 + 2r, x_4 = x_1 + 3r.\n
22 puncte
Din x1+x3=10x_1 + x_3 = 10, obținem 2x1+2r=10⇒x1+r=52x_1 + 2r = 10 \Rightarrow x_1 + r = 5.\n
32 puncte
Din log⁡10(x2)+log⁡10(x4)=1\log_{10}(x_2) + \log_{10}(x_4) = 1, folosind proprietățile logaritmilor, avem log⁡10(x2x4)=1⇒x2x4=10\log_{10}(x_2 x_4) = 1 \Rightarrow x_2 x_4 = 10.\n
42 puncte
Substituim x2=x1+rx_2 = x_1 + r și x4=x1+3rx_4 = x_1 + 3r. Din step 2, x1+r=5x_1 + r = 5, deci x2=5x_2 = 5. Atunci 5⋅(x1+3r)=10⇒x1+3r=25 \cdot (x_1 + 3r) = 10 \Rightarrow x_1 + 3r = 2.\n
52 puncte
Rezolvăm sistemul {x1+r=5x1+3r=2\begin{cases} x_1 + r = 5 \\ x_1 + 3r = 2 \end{cases}. Scăzând prima ecuație din a doua, obținem 2r=−3⇒r=−322r = -3 \Rightarrow r = -\frac{3}{2}. Apoi x1=5−r=5−(−32)=132x_1 = 5 - r = 5 - (-\frac{3}{2}) = \frac{13}{2}. Deci progresia este determinată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.