MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Studiați funcția f:R∖{−2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x2−1x+2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele (orizontale, verticale sau oblice), intervalele de monotonie, punctele de extrem local și global, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Se identifică domeniul de definiție: funcția este definită pentru x≠−2x \neq -2, deci Df=R∖{−2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}.
23 puncte
Se calculează asimptotele: verticală în x=−2x=-2 deoarece lim⁡x→−2f(x)=∞\lim_{x \to -2} f(x) = \infty; oblică: se determină lim⁡x→±∞f(x)x=1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și lim⁡x→±∞(f(x)−x)=−2\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = -2, deci asimptota oblică este y=x−2y = x - 2.
34 puncte
Se derivează f′(x)=2x(x+2)−(x2−1)(x+2)2=x2+4x+1(x+2)2f'(x) = \frac{2x(x+2) - (x^2-1)}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 obținând x2+4x+1=0x^2 + 4x + 1=0 cu soluțiile x1,2=−2±3x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{3}. Se studiază semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,−2−3)(-\infty, -2-\sqrt{3}) și (−2+3,∞)(-2+\sqrt{3}, \infty), f′(x)<0f'(x) < 0 pe (−2−3,−2)(-2-\sqrt{3}, -2) și (−2,−2+3)(-2, -2+\sqrt{3}). Funcția este crescătoare pe (−∞,−2−3)(-\infty, -2-\sqrt{3}) și (−2+3,∞)(-2+\sqrt{3}, \infty), descrescătoare pe (−2−3,−2)(-2-\sqrt{3}, -2) și (−2,−2+3)(-2, -2+\sqrt{3}). Punctele de extrem: maxim local în x=−2−3x=-2-\sqrt{3}, minim local în x=−2+3x=-2+\sqrt{3}.
42 puncte
Se concluzionează și se poate menționa că nu există extreme globale pe domeniu.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.